확률변수의 평균

 

확률변수의 평균이란 흔히 알고 있는 평균과는 조금 다르다.  흔히 알고 있는 평균은 전체 원소의 합을 전체 원소의 개수로 나눈것 이다. 


(1)  수학적 평균

확률적 평균이란 확률변수 X 의 수학적 기대값 이라고 표현한다. 예를들어 두 개의 동전을 16번 던질 때 각 시행에서 나오는 앞면의 수를 확률변수 X 라고 하면, X가 취하게 되는 값은 0, 1, 2 이다.  0은 두개의 동전을 던졌을때 모두 뒷면이 나왔을 경우, 1은 하나의 동전에서만 앞면이 나왔을경우, 2는 두 개의 동전 모두 앞면이 나왔을때를 말한다. 16시행한 끝에 0의 경우가 총 4번 1의 경우가 7번, 2의 경우가 5번 나왔다고 했을때 앞면의 나오는 평균횟수는 

(2) 앞면이 나오는 평균 횟수

 다음과 같다. 이러한 앞면이 나오는 평균횟수를 확률변수 X의 평균 이라 말한다. 다시 설명하면 확률 변수 X 는 0, 1, 2 를 취할수 있으며, 각각 확률변수에 해당하는 확률 질량 함수f(x) 는 0 = 4/16, 1 = 7/16, 2 = 5/16 이다.  각각의 x에서 해당하는 f(x) 를 곱한후 다 더한 값을 확률에서의 평균이라고 한다.

(3) 이산형 확률변수 X의 평균



(4) 연속형 확률변수 X의 평균


1.06 이란 앞면이 나올 평균횟수는 시행이 16번이든 1000번 이든 같을 것이다. 모집단을 추정하기 위한 가장 기본이 바로 확률적 평균(혹은 기대값) 이다.  


예를 들어 주머니 안에 7개의 공이 들어 있는데 이중 4개는 빨간색 3개는 흰색이다. 3개의 공을 추출하였을때 빨간색이 나타날 평균을 구한다면 확률변수 X 는 추출된 공이 빨간색인 개수이다 x = 0, 1, 2, 3  X 의 확률분포는 다음과 같다.



따라서 f(0) = 1/35, f(1) = 12/35, f(2) = 18/35, f(3) = 4/35 의 확률분포를 가진다. 
빨간색공이 나타날 확률의 평균은 다음과 같다.





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정적분

 

정적분을 이해하기전에 구문구적분의 이해가 먼저 필요하지만..같이 설명하므로 pass..




 위의 그림과 같이 기하학적인 그래프안에 특정 구간 [a, b] 안에 넓이를 구할때 정적분의 개념이 사용된다. 저 정의되지 않은 도형의 넓이를 어떻게 구한단 걸까?.... 바로 직사각형을 이용하는것이다...(-.-?)  아주 미세하게 가는 직사각형을 도형안에 무수히 많이 집어 넣고 각각의 직사각형의 넓이의 합을 그림의 도형의 합으로 보겠단 거다... 직사각형의 밑변의 길이를 무한대로 가늘게 하여 오차를 줄인다. 아래 그림을 보면 n 개의 직사각형이 있고 n 이 무한일때 오른쪽 그림과 같게 된다.

이젠 정적분 식을 보자.



여기서 오른쪽항은 단순한 기호일뿐 실제 원리는 왼쪽항이니 왼쪽항에 집중해보자..


델타 x 는 첫 번재 그림에서 보면 페구간 [a, b] 안에서 하나의 직사각형 밑변의 길이를 말한다. b 와 a 의 사이를 n 개의 직사각형의로 분활했으니 델타x 는 특정 직사각형 하나의 밑변의 길이다.

xk 는 특정 직사각형의 높이이다. 위에서 직사각형의 넓이를 구한다 했으니 밑변 X 높이를 해서 직사각형의 넓이를 구하려 고 하는것이다. 저기서 k 는 특정 k번째 직사각형을 말한다. 델타 x가 직사각형의 밑변의 길이 이므로 k를 곱하면 k번째 직사각형을 말한다. a 는 시작하는 구간이다.  이젠 모든 k번째에서의 밑변의 길이와 높이를 알았으니 시그마를 취해주면 위의 식과 같이 되는것이다.  그리고 n 을 무수히 증가시킬수록 직사각형이 아주 미세하게 가늘어지므로 그림과 같은 도형이 나오게 된다. 그래서 lim 을 취한 형태가 바로 정적분의 식이다. 


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부정적분

 

 


적분은 미분의 역연산이다. 고로 어떤수를 미분해야 위와 같은 함수가 나오는가를 묻는 것이다. 

바로 밑의 식과 같다. 기호는 생략하고 식만 보면 x^3 을 미분하면 3x^2 가 나오고 x^2 을 미분

하면 2x 가 나온다 각각 앞의 계수를 없애기 위해 1/3 과 1/2 를 곱해준 형태 ^^ 여기서 상수 C 는 

어떤 수라도 가능하다. 미분하면 없어질테니깐.... 그래서 C를 셀수 없다 해서 부정적분이라 부른다.





기본성질

 






 이건 뭐 K 는 상수 f(x) 를 적분한다음에 k 를 곱해도 같다 그담엔 f(x) 와 g(x) 합한것을 적분하는것은 각각의 적분한것을 합한것과 같다..이상무


예제문제

 






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