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정적분

Differential & Integral 2013. 7. 20. 23:54


정적분

 

정적분을 이해하기전에 구문구적분의 이해가 먼저 필요하지만..같이 설명하므로 pass..




 위의 그림과 같이 기하학적인 그래프안에 특정 구간 [a, b] 안에 넓이를 구할때 정적분의 개념이 사용된다. 저 정의되지 않은 도형의 넓이를 어떻게 구한단 걸까?.... 바로 직사각형을 이용하는것이다...(-.-?)  아주 미세하게 가는 직사각형을 도형안에 무수히 많이 집어 넣고 각각의 직사각형의 넓이의 합을 그림의 도형의 합으로 보겠단 거다... 직사각형의 밑변의 길이를 무한대로 가늘게 하여 오차를 줄인다. 아래 그림을 보면 n 개의 직사각형이 있고 n 이 무한일때 오른쪽 그림과 같게 된다.

이젠 정적분 식을 보자.



여기서 오른쪽항은 단순한 기호일뿐 실제 원리는 왼쪽항이니 왼쪽항에 집중해보자..


델타 x 는 첫 번재 그림에서 보면 페구간 [a, b] 안에서 하나의 직사각형 밑변의 길이를 말한다. b 와 a 의 사이를 n 개의 직사각형의로 분활했으니 델타x 는 특정 직사각형 하나의 밑변의 길이다.

xk 는 특정 직사각형의 높이이다. 위에서 직사각형의 넓이를 구한다 했으니 밑변 X 높이를 해서 직사각형의 넓이를 구하려 고 하는것이다. 저기서 k 는 특정 k번째 직사각형을 말한다. 델타 x가 직사각형의 밑변의 길이 이므로 k를 곱하면 k번째 직사각형을 말한다. a 는 시작하는 구간이다.  이젠 모든 k번째에서의 밑변의 길이와 높이를 알았으니 시그마를 취해주면 위의 식과 같이 되는것이다.  그리고 n 을 무수히 증가시킬수록 직사각형이 아주 미세하게 가늘어지므로 그림과 같은 도형이 나오게 된다. 그래서 lim 을 취한 형태가 바로 정적분의 식이다. 


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부정적분

 

 


적분은 미분의 역연산이다. 고로 어떤수를 미분해야 위와 같은 함수가 나오는가를 묻는 것이다. 

바로 밑의 식과 같다. 기호는 생략하고 식만 보면 x^3 을 미분하면 3x^2 가 나오고 x^2 을 미분

하면 2x 가 나온다 각각 앞의 계수를 없애기 위해 1/3 과 1/2 를 곱해준 형태 ^^ 여기서 상수 C 는 

어떤 수라도 가능하다. 미분하면 없어질테니깐.... 그래서 C를 셀수 없다 해서 부정적분이라 부른다.





기본성질

 






 이건 뭐 K 는 상수 f(x) 를 적분한다음에 k 를 곱해도 같다 그담엔 f(x) 와 g(x) 합한것을 적분하는것은 각각의 적분한것을 합한것과 같다..이상무


예제문제

 






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