확률변수의 평균

 

확률변수의 평균이란 흔히 알고 있는 평균과는 조금 다르다.  흔히 알고 있는 평균은 전체 원소의 합을 전체 원소의 개수로 나눈것 이다. 


(1)  수학적 평균

확률적 평균이란 확률변수 X 의 수학적 기대값 이라고 표현한다. 예를들어 두 개의 동전을 16번 던질 때 각 시행에서 나오는 앞면의 수를 확률변수 X 라고 하면, X가 취하게 되는 값은 0, 1, 2 이다.  0은 두개의 동전을 던졌을때 모두 뒷면이 나왔을 경우, 1은 하나의 동전에서만 앞면이 나왔을경우, 2는 두 개의 동전 모두 앞면이 나왔을때를 말한다. 16시행한 끝에 0의 경우가 총 4번 1의 경우가 7번, 2의 경우가 5번 나왔다고 했을때 앞면의 나오는 평균횟수는 

(2) 앞면이 나오는 평균 횟수

 다음과 같다. 이러한 앞면이 나오는 평균횟수를 확률변수 X의 평균 이라 말한다. 다시 설명하면 확률 변수 X 는 0, 1, 2 를 취할수 있으며, 각각 확률변수에 해당하는 확률 질량 함수f(x) 는 0 = 4/16, 1 = 7/16, 2 = 5/16 이다.  각각의 x에서 해당하는 f(x) 를 곱한후 다 더한 값을 확률에서의 평균이라고 한다.

(3) 이산형 확률변수 X의 평균



(4) 연속형 확률변수 X의 평균


1.06 이란 앞면이 나올 평균횟수는 시행이 16번이든 1000번 이든 같을 것이다. 모집단을 추정하기 위한 가장 기본이 바로 확률적 평균(혹은 기대값) 이다.  


예를 들어 주머니 안에 7개의 공이 들어 있는데 이중 4개는 빨간색 3개는 흰색이다. 3개의 공을 추출하였을때 빨간색이 나타날 평균을 구한다면 확률변수 X 는 추출된 공이 빨간색인 개수이다 x = 0, 1, 2, 3  X 의 확률분포는 다음과 같다.



따라서 f(0) = 1/35, f(1) = 12/35, f(2) = 18/35, f(3) = 4/35 의 확률분포를 가진다. 
빨간색공이 나타날 확률의 평균은 다음과 같다.





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